Как пишется правильно разжЕгать или разжИгать и почему?

Жиг-жег - корни с чередованием гласного.

Буква И пишется тогда, когда после корня стоит суффикс -А-. Если его нет, то пишется буква Е. Аналогично с корнями мир-мер, тир-тер, дир-дер, бир-бер...